拨亮数学的火焰|我们的祖先出于什么动机保存了火种?


本世纪特别是近50年来,数学有了极大的发展。这些年,许多学校在开设新课介绍现代数学方面也作了努力,但是从整体上讲,与其他学科相比,在知识结构更新方面,我以为数学是做得最差的。


我们高中学生的数学知识大约达到了17世纪的数学水平,工科大学生的主要数学课──微积分、线性代数和数理方程则是18和19世纪的数学,连数学系大学生毕业时,对本世纪的数学也没有一个概念。


技术领域的课程更新较快,其他自然科学课程更新也比较容易,似乎唯独数学有特殊的困难。这当中除了长期形成的数学传统之外,人们往往强调数学知识传授的连贯性和严密的逻辑性推理体系。事实上,数学教材或论文写出来的推理程序常常不是我们在研究和思考数学时的思维程序,甚至两者完全相反。如果只看证明逻辑,学生没有学到很多东西,他们不知道这个证明是怎么得来的;学习后,他们自己也仍没有研究和创造这类新结果的能力。所以,我们不必把形式化和严格化的东西看得过于神圣,这不是我们要教给学生的最本质的东西──数学的直观和形象化。


我们常常热衷于告诉学生面面俱到的知识,但不知如何用最少的语言启发学生自己学习和思考的能力。我们还常常用学生的考试分数来衡量学生的学习效果和成绩,但这是不可靠的。现在各国都使用笔试考试,但笔试所起的误导作用恐怕以我国最甚。实际上,我们应当以学生在讨论、作业等方面的日常表现作为考核学生的主要依据,而考试则主要采用口试方式为好。德国波恩大学的期末考试就一直采取口试。由3位教授共同对每个学生面试10到20分钟。问题有指定的,也有像“你对本课程在学习中有什么新想法”之类的问题。不论学生讲的正确与否,教授们不停地与学生讨论,随时问一些小问题,考查学生对正确东西的确认程度,或者有多大的能力发现和改正错误。最后由3位教授共同给定一个分数和能相应体现学生个性特点的评语。这样的考试是辛苦的,但是德国人对待他们认为是合理和科学的事情,就一直持有这样认真的态度。


我们的中小学生在考试中出了一点小错便会得到一个不好的分数。这种对天真幼稚的孩童要求百分之百不出错,不仅过于残酷,也违反人类实践的常规。在实践中,任何人都会出错,问题是培养通过直觉和验算如何及时发现错误和改正错误的能力。总之,我们的数学教学对于学生将来工作中运用数学时真正需要的能力考虑得太少了。


据说法国拓扑学家托姆曾经和两位古人类学家讨论:我们的祖先出于什么动机保存了火种。一位古人类学家说是由于火可以取暖,另一位则认为是由于用火做成的熟食鲜美可口。而托姆则认为,人类保存火种的最原始动机,是由于在漫漫长夜中被光彩夺目的火苗所吸引,对美丽的火焰着了迷。我不想讨论托姆的观点是否正确,只是联想到,我们应当把怎样的教员看作是最优秀的?我想,倘若你使学生都有一个好的分数,那只算是一个合格的教员;但若学生们──哪怕只是班里的一小部分──在你的课上对数学着了迷,看到数学的火焰光彩夺目,那才是一个真正优秀的教员.


冯克勤, 男, 现为清华大学数学系教授。 师从华罗庚, 专攻数论方向。

1964年 中国科技大学数学系 大学毕业

1968年 中国科技大学数学系 研究生毕业(数论代数专业)

1968—1973年 山西太原钢铁公司 工人

1973—1996年 中国科技大学 任教, 1985年任教授、博士导师


1996—至今 中国科技大学北京研究生院工作 1983年入党

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